Vi kommer att göra allt vi kan för att försäkra att du . . . har vad du behöver, sade Biden vidare.
Biden "ser fram emot en smidig övergång", och Trump sade att den ska bli så "smidig som den kan bli".
Politik är tufft, och i många fall är det inte en särskilt trevlig värld. I dag är det en trevlig värld, och jag uppskattar det väldigt mycket, sade Trump efter att de båda skakat hand.
Mötet mellan dem två pågick i nästan två timmar.
Biden betonade vikten av fortsatt stöd till Ukraina, och förmedlade "sin syn på att USA:s fortsatta stöd till Ukraina ligger i vårt nationella säkerhetsintresse", uppger Jake Sullivan, USA:s nationelle säkerhetsrådgivare, under en pressträff.
Tidigare under dagen antydde Trump att han är öppen för att vara president en ytterligare, tredje mandatperiod, vilket inte är tillåtet enligt nuvarande lagstiftning.
Jag tror inte att jag kommer att ställa upp igen, om ni inte säger "han är bra, vi måste komma på något annat", sade han.
Trump kom till Washington under eftermiddagen, svensk tid, inför mötet med Biden.
