Mohamed Salah ordnade en bra start för Liverpool inför hemmafansen på Anfield när han satte 1–0 på straff i 29:e minuten.
Curtis Jones 2–1 säkrade fullpoängaren mot Chelsea, även om det återstod en hel del spel efter fullträffen i 51:a minuten.
Segern gör att klubben toppar Premier League-tabellen efter åtta omgångar på 21 poäng.
En poäng bakom finns Manchester City – som avgjorde sent i 2–1-segern mot Wolverhampton.
Redan i sjunde minuten fick City uppförsbacke i bortamötet då norrmannen Jørgen Strand Larsen fick bollen av Nélson Semedo och satte dit 1–0-målet för hemmalaget.
Efter drygt en halvtimme ordnade Joško Gvardiol kvitteringen och först i femte tilläggsminuten kom segermålet.
John Stones – som i 98:e minuten satte kvitteringen i stormötet med Arsenal tidigare under säsongen – nådde högst på Phil Fodens hörna och nickade in segermålet.
Men gästerna fick vänta med att jubla.
Målet VAR-granskades för offside, då Bernardo Silva befann sig på fel sida av linjen. Domaren Chris Kavanagh lyssnade på VAR-domarna i sina hörlurar och fick sedan springa till sidan av planen för att själv kolla på situationen.
Där tog han beslutet: mål.
Liverpools och Citys segrar innebär att klubbarna har ryckt i toppen. Arsenal, som i lördags förlorade mot Bournemouth, är trea på 17 poäng.
